不思議な図形②
今日通学中に発見した台風の爪痕。
何で昨日気づかなかったんだ。。。
大学内でも木々がたくさん倒れています。
足元にお気をつけてノ
さて、昨日は次元の話をしました。
昨日は、次元を
その世界に住んでいる人が進める方向の自由さ加減
ととらえてシェルピンスキーのギャスケットの上に住んでいる人の次元を考えてみました。
すると、
「ギャスケットは、線の世界（1次元）より自由に動けるけど、面の世界（2次元）よりは
自由に動けない（穴ぼこが開いているので、動ける方向が制限されてしまいます）。」
ので、1次元よりは大きいけど、2次元よりは小さいだろう、という予想を立てました。
つまり、シェルピンスキーのギャスケットの上に住んでいる人にとっては、世界は分数次元になっている。
という不思議な予想になりました。
今日はこの分数の次元に行く前のお話をしたいと思います。
分数の次元を理解するためには、次元の定義を変える必要があります。
「次元」となんとなく言っていたものを、正確に定義するのです。
実は、ただ一口に「次元」といっても、様々な定義の仕方があります。
（位相次元、フラクタル次元、スペクトル次元、ウォーク次元、、、など）
例えるなら、私たちは物を見るときに主に「目」で見ますよね。
しかし、その物のより詳しい情報が知りたければ、近づいて触ってみたり、たたいて音を聴いたり、においをかいだり、なめてみたり（！？）すると思います。
ちょうど、「肌」「耳」「鼻」「舌」を使うことで、より詳しいことが分かりますよね。
図形についても同じで、様々な方向から「次元」をとらえることで、より詳しい情報が分かるのです。
今日は、一例でフラクタル次元（特に、ハウスドルフ次元）について説明します。
考え方は簡単です。
ある図形を1/Lに分けて、元の形と同じ形がN個現れたとします。
NとLに
という関係があるとき、このd_hをハウスドルフ次元と言います。
具体例を見てみましょう。
先日の、「線」「面」「立方体」を例にして考えてみます。
もとの図形を2分の1に分けていくと、同じ形が、それぞれ2個、4個、8個現れることが分かります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83#/media/File:Fractaldimensionexample.PNG
従って、「線」「面」「立方体」のハウスドルフ次元は、それぞれ、1，2，3となります。
この数は、直感ともよくあっているので、この定義は良さそうです。
ではこれを使って、シェルピンスキーのギャスケットの次元を考えてください。
（対数の知識を使うので、少し難しいかも？）
ヒント：
※lnとは、log_eのことです。
